Законы Кеплера.

КЕПЛЕР Иоганн (27. XII 1571 — 15. XI 1630) — немецкий астроном. Один из основоположников современного естествознания, прославившийся открытием законов движения планет. Род. в городке Вейль-дер-Штадте (Вюртемберг) в бедной протестантской семье. В 15 лет начал учебу в духовном училище при мауль-бронском монастыре. В 1589 г. был переведен, как подававший особые надежды, в тюбингенскую семинарию, а через два года в тюбингенскую академию. Астрономию в академии читал М. Местлин, который стал давать Кеплеру частные уроки астрономии и математики и познакомил его с учением Коперника. В 1593 г. Кеплер блестяще окончил академию и был направлен наместо профессора математики и «нравственной философии» в гимназию г. Грац (Штирия). В 1594г. стал читать лекции по астрономии.

В 1596 г. вышло сочинение Кеплера «Космографическая тайна», в котором, несмотря на пифагорейские идеи, Кеплер проявил себя сторонником системы Коперника. Преследуемый католиками, был вынужден покинуть Грац (1598). В 1600 г. переехал в Прагу к известному астроному Тихо Браге, после смерти которого в 1601 г. получил в свое распоряжение большой архив астрономических наблюдений. В 1602 г. был назначен на должность математика при императоре Рудольфе II. В это же время упорно занимался астрономическими исследованиями. В 1604 г. вышел его труд о приложениях оптики к астрономии, в 1611 г. появилась «Диоптрика», где Кеплер предложил свою систему зрительной трубы, в которой в качестве объектива и окуляра используются двояковыпуклые линзы. Изучение закономерностей движения планеты Марс по наблюдениям Тихо Браге было начато Кеплером еще при жизни последнего. В результате упорного девятилетнего труда появилась книга «Новая астрономия, причинно обусловленная, или физика неба, изложенная в исследованиях о движении звезды Марс, по наблюдениям благороднейшего мужа Тихо Браге» (1609). Здесь Кеплеру удалось показать, что движение Марса вокруг Солнца происходит не по окружности, как считал Коперник, а по эллипсу. Солнце находится в одном из фокусов этого эллипса. Движение планеты по эллипсу происходит с переменной скоростью, так что площади, описываемые радиус-вектором планеты в одинаковые промежутки времени, равны между собой. Как указал Кеплер в труде «Сокращение Коперниковой астрономии», изданном по частям в 1618, 1620, 1621 гг., эти законы применимы и к другим планетам, а также к движению Луны вокруг Земли. В «Гармонии мира» наряду с фантастическими рассуждениями о связи между отношениями расстояний планет в Солнечной системе и музыкальными тонами («музыка сфер») Кеплер (1619) приводит установленную им важную закономерность: квадраты времен обращений планет вокруг Солнца относятся как кубы их средних расстояний от Солнца (в современной формулировке). Рассмотренные закономерности вошли в сокровищницу астрономических знаний под именем трех законов Кеплера. Выведенные из наблюдений законы Кеплера были использованы впоследствии И. Ньютоном для обоснования закона всемирного тяготения. Последние два десятилетия жизни Кеплера были для него особенно тревожными. Еще в 1611 г. болезни унесли троих его детей и жену. Фронтиспис «Рудольфовых таблиц» И. Кеплера.

В 1615 г., когда Кеплер был учителем в Линце (Австрия), его мать была посажена в тюрьму по обвинению в колдовстве. Процесс длился шесть лет, и Кеплеру стоило больших усилий добиться оправдания и освобождения матери. В 1618 г. началась Тридцатилетняя война между католиками и протестантами. Кеплер вынужден был бежать в Ульм (1626). Не получая жалования и не имея средств к существованию, поступил астрологом к имперскому полководцу Валленштейну (1628). В 1630 г. отправился в Регенсбург, где заседал в то время сейм, чтобы добиться постановления об уплате жалования. По дороге он тяжело заболел и скончался на 59-м году жизни. Последней крупной работой Кеплера были задуманные еще Тихо Браге и напечатанные в 1627 г. «Рудольфовы таблицы» (по имени императора Рудольфа). Они давали возможность предвычислять положения планет с точностью значительно более высокой, чем в аналогичных таблицах, издававшихся ранее. Открытия Кеплера сыграли большую историческую роль — они стали основой дальнейшего прогресса астрономии. Планеты движутся вокруг Солнца по вытянутым эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в одной из двух фокальных точек эллипса. Отрезок прямой, соединяющий Солнце и планету, отсекает равные площади за равные промежутки времени. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит. Иоганн Кеплер обладал чувством прекрасного. Всю свою сознательную жизнь он пытался доказать, что Солнечная система представляет собой некое мистическое произведение искусства. Сначала он пытался связать ее устройство с пятью правильными многогранниками классической древнегреческой геометрии. (Правильный многогранник — объемная фигура, все грани которой представляют собой равные между собой правильные многоугольники.) Во времена Кеплера было известно шесть планет, которые, как полагалось, помещались на вращающихся «хрустальных сферах». Кеплер утверждал, что эти сферы расположены таким образом, что между соседними сферами точно вписываются правильные многогранники. Между двумя внешними сферами — Сатурна и Юпитера — он поместил куб, вписанный во внешнюю сферу, в который, в свою очередь, вписана внутренняя сфера; между сферами Юпитера и Марса — тетраэдр (правильный четырехгранник) и т. д.* Шесть сфер планет, пять вписанных между ними правильных многогранников — казалось бы, само совершенство? Увы, сравнив свою модель с наблюдаемыми орбитами планет, Кеплер вынужден был признать, что реальное поведение небесных тел не вписывается в очерченные им стройные рамки. По меткому замечанию современного британского биолога Дж. Холдейна (J. B. S. Haldane), «идея Вселенной как геометрически совершенного произведения искусства оказалась еще одной прекрасной гипотезой, разрушенной уродливыми фактами». Единственным пережившим века результатом того юношеского порыва Кеплера стала модель Солнечной системы, собственноручно изготовленная ученым и преподнесенная в дар его патрону герцогу Фредерику фон Вюртембургу. В этом прекрасно исполненном металлическом артефакте все орбитальные сферы планет и вписанные в них правильные многогранники представляют собой не сообщающиеся между собой полые емкости, которые по праздникам предполагалось заполнять различными напитками для угощения гостей герцога.

Лишь переехав в Прагу и став ассистентом знаменитого датского астронома Тихо Браге (Tycho Brahe, 1546–1601), Кеплер натолкнулся на идеи, по-настоящему обессмертившие его имя в анналах науки. Тихо Браге всю жизнь собирал данные астрономических наблюдений и накопил огромные объемы сведений о движении планет. После его смерти они перешли в распоряжение Кеплера. Эти записи, между прочим, имели большую коммерческую ценность по тем временам, поскольку их можно было использовать для составления уточненных астрологических гороскопов (сегодня об этом разделе ранней астрономии ученые предпочитают умалчивать). Обрабатывая результаты наблюдений Тихо Браге, Кеплер столкнулся с проблемой, которая и при наличии современных компьютеров могла бы показаться кому-то трудноразрешимой, а у Кеплера не было иного выбора, кроме как проводить все расчеты вручную. Конечно же, как и большинство астрономов его времени, Кеплер уже был знаком с гелиоцентрической системой Коперника (см. Принцип Коперника) и знал, что Земля вращается вокруг Солнца, о чем свидетельствует и вышеописанная модель Солнечной системы. Но как именно вращается Земля и другие планеты? Представим проблему следующим образом: вы находитесь на планете, которая, во-первых, вращается вокруг своей оси, а во-вторых, вращается вокруг Солнца по неизвестной вам орбите. Глядя в небо, мы видим другие планеты, которые также движутся по неизвестным нам орбитам. Наша задача — определить по данным наблюдений, сделанных на нашем вращающемся вокруг своей оси вокруг Солнца земном шаре, геометрию орбит и скорости движения других планет. Именно это, в конечном итоге, удалось сделать Кеплеру, после чего, на основе полученных результатов, он и вывел три своих закона!

Первый закон** описывает геометрию траекторий планетарных орбит. Возможно, вы помните из школьного курса геометрии, что эллипс представляет собой множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек — фокусов — равна константе. Если это слишком сложно для вас, имеется другое определение: представьте себе сечение боковой поверхности конуса плоскостью под углом к его основанию, не проходящей через основание, — это тоже эллипс. Первый закон Кеплера как раз и утверждает, что орбиты планет представляют собой эллипсы, в одном из фокусов которых расположено Солнце. Эксцентриситеты (степень вытянутости) орбит и их удаления от Солнца в перигелии (ближайшей к Солнцу точке) и апогелии (самой удаленной точке) у всех планет разные, но все эллиптические орбиты роднит одно — Солнце расположено в одном из двух фокусов эллипса. Проанализировав данные наблюдений Тихо Браге, Кеплер сделал вывод, что планетарные орбиты представляют собой набор вложенных эллипсов. До него это просто не приходило в голову никому из астрономов.

Историческое значение первого закона Кеплера трудно переоценить. До него астрономы считали, что планеты движутся исключительно по круговым орбитам, а если это не укладывалось в рамки наблюдений — главное круговое движение дополнялось малыми кругами, которые планеты описывали вокруг точек основной круговой орбиты. Это было, я бы сказал, прежде всего философской позицией, своего рода непреложным фактом, не подлежащим сомнению и проверке. Философы утверждали, что небесное устройство, в отличие от земного, совершенно по своей гармонии, а поскольку совершеннейшими из геометрических фигур являются окружность и сфера, значит планеты движутся по окружности (причем это заблуждение мне и сегодня приходится раз за разом развеивать среди своих студентов). Главное, что, получив доступ к обширным данным наблюдений Тихо Браге, Иоганн Кеплер сумел перешагнуть через этот философский предрассудок, увидев, что он не соответствует фактам — подобно тому как Коперник осмелился убрать Землю из центра мироздания, столкнувшись с противоречащими стойким геоцентрическим представлениям аргументами, которые также состояли в «неправильном поведении» планет на орбитах.

Второй закон описывает изменение скорости движения планет вокруг Солнца. В формальном виде я его формулировку уже приводил, а чтобы лучше понять его физический смысл, вспомните свое детство. Наверное, вам доводилось на детской площадке раскручиваться вокруг столба, ухватившись за него руками. Фактически, планеты кружатся вокруг Солнца аналогичным образом. Чем дальше от Солнца уводит планету эллиптическая орбита, тем медленнее движение, чем ближе к Солнцу — тем быстрее движется планета. Теперь представьте пару отрезков, соединяющих два положения планеты на орбите с фокусом эллипса, в котором расположено Солнце. Вместе с сегментом эллипса, лежащим между ними, они образуют сектор, площадь которого как раз и является той самой «площадью, которую отсекает отрезок прямой». Именно о ней говорится во втором законе. Чем ближе планета к Солнцу, тем короче отрезки. Но в этом случае, чтобы за равное время сектор покрыл равную площадь, планета должна пройти большее расстояние по орбите, а значит скорость ее движения возрастает.

В первых двух законах речь идет о специфике орбитальных траекторий отдельно взятой планеты. Третий закон Кеплера позволяет сравнить орбиты планет между собой. В нем говорится, что чем дальше от Солнца находится планета, тем больше времени занимает ее полный оборот при движении по орбите и тем дольше, соответственно, длится «год» на этой планете. Сегодня мы знаем, что это обусловлено двумя факторами. Во-первых, чем дальше планета находится от Солнца, тем длиннее периметр ее орбиты. Во-вторых, с ростом расстояния от Солнца снижается и линейная скорость движения планеты.

В своих законах Кеплер просто констатировал факты, изучив и обобщив результаты наблюдений. Если бы вы спросили его, чем обусловлена эллиптичность орбит или равенство площадей секторов, он бы вам не ответил. Это просто следовало из проведенного им анализа. Если бы вы спросили его об орбитальном движении планет в других звездных системах, он также не нашел бы, что вам ответить. Ему бы пришлось начинать всё сначала — накапливать данные наблюдений, затем анализировать их и стараться выявить закономерности. То есть у него просто не было бы оснований полагать, что другая планетная система подчиняется тем же законам, что и Солнечная система.

Один из величайших триумфов классической механики Ньютона как раз и заключается в том, что она дает фундаментальное обоснование законам Кеплера и утверждает их универсальность. Оказывается, законы Кеплера можно вывести из законов механики Ньютона, закона всемирного тяготения Ньютона и закона сохранения момента импульса путем строгих математических выкладок. А раз так, мы можем быть уверены, что законы Кеплера в равной мере применимы к любой планетной системе в любой точке Вселенной. Астрономы, ищущие в мировом пространстве новые планетные системы (а открыто их уже довольно много), раз за разом, как само собой разумеющееся, применяют уравнения Кеплера для расчета параметров орбит далеких планет, хотя и не могут наблюдать их непосредственно.

Третий закон Кеплера играл и играет важную роль в современной космологии. Наблюдая за далекими галактиками, астрофизики регистрируют слабые сигналы, испускаемые атомами водорода, обращающимися по очень удаленным от галактического центра орбитам — гораздо дальше, чем обычно находятся звезды. По эффекту Доплера в спектре этого излучения ученые определяют скорости вращения водородной периферии галактического диска, а по ним — и угловые скорости галактик в целом (см. также Темная материя). Меня радует, что труды ученого, твердо поставившего нас на путь правильного понимания устройства нашей Солнечной системы, и сегодня, спустя века после его смерти, играют столь важную роль в изучении строения необъятной Вселенной.

Источники: elementy.ru
                     astronomers.name
 Дополнительные материалы по теме: 

astrogalaxy.ru

physics.ru